¿Por qué una funcion que no es inyectiva no puede tener inversa? y ¿Por qué una funcion que no es sobreyectiva no puede tener inversa?

En principio, recuerda que las funciones cumplen con que cada uno de los elementos del dominio deben estar relacionados con uno, y solo uno, de los elemento del codominio. Si la función que queremos invertir no fuese inyectiva, la inversa tendría dos o más relaciones en el menos un elemento de su dominio, por lo que la inversa no puede ser una función Y si la función que queremos invertir no fuese sobreyectiva, encontraríamos valores del dominio sin elementos relacionados en el codominio, por lo que no la inversa no puede ser una función.

Esencialmente, solo las funciones que son tanto inyectivas como sobreyectivas (también llamadas biyectivas) son invertibles. En el caso de una función inyectiva, si restringes el codominio a la imagen obtienes una función biyectiva y, por tanto, existe inversa. Espero haber respondido tu duda ;)

Las funciones tienen inversa si y solo si es : inyectiva (1-1) y sobreyectiva ( el condominio( conjunto de llegada) es igual al Rango o Recorrido (conjunto de imágenes)). Una función de un conjunto A a un Conjunto B : es función si para cada elemento " x" del primer conjunto o conjunto de partida existe una imagen " y" en B y dicha imagen es única tal que y =f(x) , es decir, y es la imagen de x bajo la funcion f. Por lo tanto : si tenemos una función que es inyectiva y no es sobreyectiva, existen elementos en el condominio que no tendrán preimagenes en A, y la Inversa de la función ya no sería función, porque habrían elementos en B sin su imagen en A ( en rigor su pre imagen). Ahora si la función es solo sobreyectiva y no es inyectiva: De A a B es función pero en el sentido contrario: de B a A ,no sería función porque habría elementos en B qué tendrían más de una imagen en A, por lo tanto la imagen no sería única y ya no sería función. En el caso de una funcion inyectiva que no es al mismo tiempo sobreyectiva, le restringes el condominio a ser el rango y recorrido y ya se transforma en una biyeccion y es función en ambos sentidos, de A a B y de B a A.

Debió decir codominio y no condominio. Corregir la palabra

Una función es una relación entre dos conjuntos llamados "dominio" y "codominio", lo que la función hace es tomar elementos del dominio y asignarles un valor del condominio. La función "vive" en el dominio, es decir, sólo puede computar valores que estén en el dominio. Y la imágen de una función está contenida dentro del codominio. Buscarle una inversa a una función es estudiar está relación para que al tener un elemento del codominio, puedas encontrar el elemento del dominio que le corresponde Bien, ahora que una función sea inyectiva significa que para cada UN elemento del dominio se le asigna sólo UN elemento del codominio. Ejemplo: f(x) = x + 2, su dominio son todos los reales, la función no tiene restricciones. Si elijo un número al azar de su dominio, digamos x = 3, la función en ese valor vale 5, y no otra cosa. F(3) = 3 + 2 = 5 Pero si miramos la función f(x) = x² + 2 la cosa cambia. Su dominio siguen siendo todos los reales, pero si hago f(3) eso sería f(3) = 3² + 2 Y hay dos números que al cuadrado dan nueve: 3 y -3 En este caso f(x) = x + 2 es inyectiva, para UN valor del dominio, tengo UN valor del codominio. F(x) = x² + 2 NO es inyectiva, para UN valor del dominio, tengo DOS valores para el codominio. Tomando estos mismos ejemplos, que una función sea sobreyectiva significa que cada elemento del codominio sea imágen de al menos un elemento del dominio. F(x) = x² + 2, si elegimos x = 3 entonces X = 3 pertenece al dominio, x = 3 y x = -3 pertenecen al codominio, porque ambos son soluciones de la ecuación. Sin embargo, la imagen será sólo x = 3, ya que 3² o (-3)² ambos son igual a 3. En la imagen sólo se ve reflejado el "3", el "-3" se descarta. Ese elemento del codominio NO tiene imagen para la función. Inyectividad y sobreyectividad son condiciones necesarias para la inversa de una función porque son características que nos permiten hallar el "camino que hizo" la función. Cuando calculamos la inversa de una función es como si "cambiaramos los conjuntos". Usamos el codominio para llegar al dominio. Entonces, si tengo 2 valores del codominio que me llevan a uno solo del dominio... Cómo sé qué valor le corresponde al del dominio? Con cuál me quedo? (Inyectividad) Qué hago si tengo un valor del codominio que no tiene imágen para ningún elemento del dominio? (Sobreyectividad) Tengo valores que no me llevan a ningún lado, no puedo calcular la inversa.

Una función inyectiva (o "uno a uno") es aquella en la que cada valor del codominio está asociado con a lo sumo un único valor del dominio. Si una función no es inyectiva, significa que dos o más valores del dominio se pueden mapear al mismo valor del codominio. En ese caso, no se puede deshacer la función de manera única, lo que impide definir una inversa que sea función. Conclusión: Si una función no es inyectiva, su inversa no puede existir como función. Una función sobreyectiva es aquella en la que cada valor del codominio tiene al menos una preimagen en el dominio. Si una función no es sobreyectiva, hay elementos del codominio que no provienen de ningún valor del dominio. Por lo tanto, la inversa no estaría definida para todo el codominio, lo cual rompe la condición necesaria para que exista una inversa funcional. Conclusión: Si una función no es sobreyectiva, no puede tener una inversa definida en todo su codominio. Una función puede tener inversa si y solo si es biyectiva, es decir: Inyectiva, para asegurar que la inversa esté bien definida (una entrada → una salida). Sobreyectiva, para asegurar que la inversa cubra todo el codominio.